287. Орлов А.И. Классификация объектов нечисловой природы на основе непараметрических оценок плотности. – В сб.: Проблемы компьютерного анализа данных и моделирования: Сборник научных статей. - Минск: Изд-во Белорусского государственного  университета, 1991. С.141-148.

КЛАССИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ НЕЧИСЛОВОЙ ПРИРОДЫ  НА ОСНОВЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОЦЕНОК ПЛОТНОСТИ.
	
	В СССР в середине 70-х годов активно ведуться раьоты по статистическому анализу нечисловых данных  [1] . В  настоящее время во Всесоюзном  центре статистических методов и информатики мы при разработке методических документов и програмных продуктов по прикладной статистике делим ее на четыре части соответственно видуобрабатываемых статистических данных: на статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику временных рядов и случайных процессов, статистику объектов нечисловой природы ( другими словами, статистику нечисловых данных).
	Вероятностный и статистический анализ нечисловых данных сопровождали теорию вероятностей и математическую статистику с самого начала их развития. Типичными примерами являются урновые схемы и изучение рождаемости. Испытание Бернулли- вероятностная модель простейшего объекта нечисловой природы. Наиболее массовым применением статистических методов является, видимо, выборочный контроль качества продукции по альтернативному признаку ( т.е. по признаку "годен"-"не годен" ), относяйщийся , очевидно, к статистике объектов нечисловой природы [2].
	Развитие прикладных исследований привело к необходимости рассмотрения в качестве статистических данных различных объектов нечисловой природы. Этот термин применяем к объектам , которые нецелесообразно рассматривать как описанные числами,.Другими словами , речь идетоб элементах пространства, не являющихся линейными (векторными). Примеры: бинарные отношения (ранжировки, разбиения, толерантности и т.д. ) ; множества; нечеткие множества; реэультаты измерений в шкалах , отличной от абсолютной; как обобщение перечисленных объектов - элементы пространств общей природы. Для результатов наблюдений , являющихся объектами нечисловой природы, рассматривают [1] классические задачи статистики: описание данных ( включая  классификацию) оценивание ( параметров, характеристик, плотности распределения, регрессионной зависимости и т.д. ).
	Математический аппарат статистики объектов нечисловой природы основан не на свойстве линейности пространства, а на применении симметрик и метрик в нем, поэтому существенно отличается от классического.
	В прикладных работах наиболее распространенный пример объектов нечисловой природы - разнотипные данные. В этом случае реальный объект описывается вектором, часть координат которого - значения количественных признаков, а часть - качественных (номинальных и порядковых).
	Основная цель настоящего раздела - обосновать новый подход [3] к классификации в пространствах произвольной природы, основанный на построении не параметрических оценок плотности распределений  вероятности в таких пространствах [4].
              " Пусть   - измеримое пространство ,.   и   . суть   -конечные меры на  ., причем   абсолютно непрерывна относительно , т.е.  из равенства ..=0  следует равенство  =0 , где . .В этом случае на  существует  неотрицательная измеримая функция   такая, что

для любого    Функция называется производной  Родона-Никодима меры    по мере  , а в случае , когда  - вероятностноя мера, также плотностью вероятности     по отношению  к  ."  [5]
	Будем считать , что в пространстве объектов нечисловой природы фиксирована некоторая мера  , а мера    соответствует распределению Р случайного элемента  со знаниями  в измеримом пространстве  , т.е.

Если -  пространство из конечного числа точек, то в качестве меры  можно использовать считающую меру ( приписывающую единичный вес каждой точке ), т.е.  , или

	В случае считающей меры значение плотности в точке  совпадает с вероятностью попасть в точку   , т.е.
	Многие методы  классификации  используют расстояния или меры близости между объектами или признаками . Такие методы пригодны и для классификации объектов нечисловой природы, лишь бы в соответствующем пространстве было определено расстояние или мера близости. Таким образом, широко известные иерархические агломеративные алгоритмы ближайшего соседа, дальнего соседа, средней связи и др. , результатом работы которых являются дендрограммы, на самом деле относятся к статистике объектов нечисловой природы .
	Не пытаясь рассмотреть все многообразие методов классификации в статистике объектов нечисловой природы ( см. , например, [6, 7] ),  сосредоточимся на тех из них , которые используют плотности распределения и их оценки. Зная плотности распределения классов, можно решать основные задачи классификации - как задачи выделения кластеров, так и задачи диагностики. В задачах кластер-анализа можно находить моды плотности и принимать их за центры кластеров или за начальные точки итерационных методов типа динамических сгущений. В задачах диагностики ( дискриминации, распознования образов с учителя ) можно принимать решения оклассификации объектов на основе отношения плотностей, соответствующих классам. При неизвестных плотностях представляется естественным использовать их состоятельные оценки. Корректность такой постановки, как правило, нетрудно обосновать, например, в стиле [8]. Таким образом, для переноса на пространства произвольной природы основных методов классификации рассматриваемого типа достаточно уметь оценивать плотность распределения вероятности в таких пространствах.
	Методы оценивания плотности вероятности в пространствах общего вида предложен и первоначально изучены в [4] . В частности, в задачах классификации объектов нечисловой природы предлагаем использовать непараметрические ядерные оценки плотности типа Парзена-Розенблатта (этот вид оценок и его название введены нами в  [4] ): 
  ,
где К :  - ядерная функция  - выборка по которой оценивается плотностью,  - расстояние между элементом выборки  и точкой , в которой оценивается плотность последовательность  показателей размытости такова, что  при 0 и n, а  - нормирующий множитель , обеспечивающий выполнение условия

	Оценки типа Парзена-Розенблатта - частный случай линейных оценок [4]. В теоретическом плане они выделяются тем, что  удается получать результаты такого же типа, что в классическом одномерном случае  (), но , разумеется , с помощью совсем иного математического аппарата.
	Одна из основных идей  состоит в том , чтобы согласовать между собой расстояние  и меры . А именно, рассмотрим шары радиуса 

 и их меры 

 	Предположем, что  как функция  при фиксированном  непрерывна и строго возрастает. Введем функцию 

	Это - монотонное преобразование расстояния, а потому  - метрика или симметрика ( т.е. неравенство треугольника может быть не выполненно), которую , как и , можно рассматривать как меру близости между   и  . 
	Введем 
.
	Поскольку  определена однозначно, то 
^ 
где ., а потому 

	Переход от  к  напоминает классическое преобразование, использованное Н.В.Смирновым, , переводящее случайную величину  с непрерывной функцией распределения  в случайную величину  , равномерно распределенную на [ 0,1]. Оба рассматриваемых преобразования существенно упрощают далнейшие рассмотрения.
	Преобразование  зависит от точки , что не влияет на дальнейшие рассуждения, поскольку ограничиваемся изучением сходимости в точке.
	Функцию , для которой мера шара радиуса  равна , называют [4] естественным показателем различия или естественной метрикой. В случае пространства  и евклидовой метрики   имеем

где -объем шара единичного радиуса в .
	Поскольку можно записать, что

где

то переход от  к  соответствует переходу от  к . Выгода от такого перехода заключается в том, что утверждения приобретают более простую формулировку.
	ТЕОРЕМА 1. Пусть  - естественная метрика,
	
Плотность  неприрывна в  и ограничена на  , причем . Тогда , оценка  является состоятельной, т.е. по вероятности при ,

Теорема 1 доказана в [4]. Однако остается открытым вопрос о скорости сходимости ядерных оценок, т.е. о поведении величины

и об оптимальном выборе показателей размытости .
	Введем круговое распределение  и круговую плотность .
	ТЕОРЕМА 2. Пусть ядерная функция  непрерывна и при . Пусть круговая плотность допускает разложение

причем остаточный член равномерно ограничен [0,1,....,]. Пусть

Тогда

	Величина  достигает минимума, равного

при

что совпадает с классическими результатами для (см.[9,с316]). Заметим, что для уменьшения смещения оценки приходится применять знакопеременные ядра .
	В случае дискретных пространств естественных метрик не существует. Однако можно получить аналоги теорем 1 и 2 переходя к пределу не только по объему выборки , но и по параметру дискретности .
	Пусть - последовательность конечных пространств, - расстояния в 
  для любого .
	Положим 
 , 
 ,
 , 
Тогда функции  кусочно постоянны и имеют скачки в некоторых точках  , причем  .
	ТЕОРЕМА 3.Если  при  (другими словами,  при  ), то существуетпоследовательность параметров дискретности  такая, что при  ,  ,  справедливы заключения теорем 1 и 2.
	ПРИМЕР 1 .Пространство  всех подмножеств конечного множества  из  элементов допускает [10,Пар 4.3] аксиоматическое введение метрики  , где  - символ симметрической разности множеств. Рассмотрим непараметрическую оценку плотности типа Парзена - Розенблатта  , где  - функция нормального стандартного распределения. Можно показать, что эта оценка удовлетворяет условиям теоремы 3  .
	ПРИМЕР 2.Рассмотрим пространство функций  , определенных на конечном множестве  со значениями в конечном множестве  . Это пространство можно интерпретировать как пространство нечетких множеств [11]. Очевидно,  .Будем использовать расстояние  . Непараметрическая оценка плотности имеет вид :  . 
Если  ,  , то при  выполнены условия теоремы 3, а потому справедливы теоремы 1 и 2.
.	ПРИМЕР 3.Рассматривая пространства ранжировок  объект непреов, в качестве расстояния  между ранжировками  и  . Тогда . не стремиться к 0 при ., условия теоремы 3 не выполнены.
	Пространства разнотипных признаков - это декартово произведение непрерывных и дискретных пространств. Для него возможны различные постановки. Пусть, например, число градаций качественных признаков остается постоянным. Тогда непараметрическая оценка плотности  сводится к произведению частоты попадения в точку в пространстве качественных признаков на классическую оценку Парзена-Розенблатта в пространстве количественных переменных. В общем случае расстояние  можно , например, рассматривать как сумму евклидова расстояния  между количественными факторами , расстояния  между номинальными признаками ( , если  и  , если  ) и расстояния  между порядковыми переменными (если  и  - номера градаций., то .
	Наличие количественных факторов приводит к непрерывности и строгому возрастанию ,  а потому для непараметрических оценок плоности в пространсвах  разнотипных признаков справедливы теоремы 1 - 3.

1.Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях.-М.Наука,1979.-296 с.
2.Орлов А.И. Экспертные оценки / Вопросы кибернетики. Вып.58.-М.: Научный Совет СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", 1979.С.17-33.
3.Орлов А.И. / Тезисы докладов Четвертой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике: Том 2.-Вильнюс, Вильнюсский госуниверситет, 1985.С.278-280.
 4.Орлов А.И. / Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях.-М.Наука, 1985.С.58-92. 
5.Орлов А.И. / Статистика. Вероятность. Экономика.-М.Наука,1985. С.99-107. 
6.Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1987.Т.58. N3.С.90-91. 
7.Орлов А.И. /Надежность и контроль качества. 1987.N6.С.54-59. 
8.Рекомендации. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики.- М.:ВНИИС,1987.-64 с.
9.Кривцов В.С., Фомин В.Н., Орлов А.И. / Стандарты и качество. 1988.N3.С.32-36. 
11.Колмогоров А.Н. Статистический приемочный контроль при допустимом числе дефектных изделий, равном нулю. - Л.: ДНТП, 1951. - 22 с. 
12. Гнеденко Б.В. Математика и контроль качества продукции.- М.: Знание, 1978. - 64 с. 
13. Беляев Ю.К. Вероятностные методы выборочного контроля.-М.: Наука, 1975. - 408 с.
14. Лумельский Я.П. Статистические оценки результатов контроля качества. - М.: Из-во стандартов, 1979. - 200 с.  
15. Орлов А.И. Современные проблемы кибернетики: Прикладная статистика. - М.: Знание, 1981. с 3-14. 
16. Статистические методы анализа экспертных оценок / Ученые записки по статистике, т. 29, -М.: Наука, 1977-384 с. 17.
17.Экспертные оценки в системных исследованиях / Сборник трудов. - Вып. 4. - М.: ВНИИСИ, 1970 - 120 с. 
18. Экспертные оценки / Вопросы кибернетики. - Вып. 58. - М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме / "Кибернетика". 1979. - 200 с. 
19. Экспертные оценки в задачах управления / Сборник трудов. - М.: Институт проблем управления. 1982. - 106 с. 
20. Анализ нечисловых данных в системных исследованиях / Сборник трудов. - Вып. 10. - м.: ВНИИСИ. 1982. 
21. Методы анализа данных, оценивания и выбора / Сборник трудов. - Вып. 11. - М.: ВНИИСИ. 1984. - 92 с. 
22. Методы анализа данных, оценивания и выбора в системных исследованиях. / Сборник трудов. Вып.14. - М.: ВНИИСИ. 1986. - 124 с.
23. Тюрин Ю.Н., Литвак Б.Г., Орлов А.И. и др. / Заводская лаборатория. 1980. т. 46. N 10. С. 931-935. 
24. Тюрин Ю.Н., Литвак Б.Г., Орлов А.И. и др. Анализ нечисловой информации / Препринт. - М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика". 1981. - 80 с. 
25. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. - М.: Наука, 1974. 256 с. 
26. Миркин Б.Г., Родин С.Н. Графы и гены. - М.: Наука. 1977. - 240 с. 
27. Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков и структур. - М.: Статистика. 1980. - 319 с. 
28. Миркин Б.Г. Группировки в социально-экономических исследованиях: Методы построения и анализа. - М.: Финансы и статистика. 1985. - 223 с. 
29. Лбов Г.С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных. - Новосибирск; Наука. 1981. - 160 с. 
30. Литвак Б.Г. Экспертная информация: Методы получения и анализа. - М.: Радио и связь. 1982. - 184 с. 
31. Первое Всесоюзное совещание по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации, экспертным оценкам и дискретной оптимизации. / Тезисы докладов. - М. - Алма-Ата: ВИНИТИ, 1981. - 439 с. 
32. Вторая Всесоюзная конференция по анализу нечисловой информации. / Тезисы докладов. - М.: Таллинн: ВИНИТИ, 1984. - 348 с. 
33. Орлов А.И., Рыданова Г.В. / Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в методико-биологических исследованиях / Материалы I Всесоюзной школы-семинара. - Пущино: Научный центр биологических исследований АН СССР, 1986. - С. 61-71. 
34. Кендалл М.Дж., Стъюарт А., Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. - 899 с. 
35. Карапетян К.А., Чахмахнян А.А. / Тезисы докладов Второй Всесоюзной школы-семинара "Программно-алгоритмическое обеспечение прикладного многомерного статистического анализа" / Т. II. - М.: ЦЭМИ АН СССР. 1983. - С. 10-18. 
36. Фоменко А.Г. // Проблемы устойчивости статистических моделей / Труды семинара. - М.: ВНИИСИ. 1984. - С.154-177. 
37. Орлов А.И. / Теория вероятностей и ее применения. 1978. Т. XXIII. N 2 . С. 462-464. 
38. Gini C., Galvani L. / Metron. 1929. V. VIII. N 1-2. 
39. Джини К. Средние величины. - М.: Статистика. 1970. - 556 с. 
40. Kemeny J. / Pacif. J. Math . 1959. V.9. N 4. P. 1179-1189. 
41. Kemeny J. / Daedalus. 1959. V. 88. P. 571-591. 
42. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения. - М.: Советское радио, 1972. - 192 с. 
43.Воробьев О.Ю., Валендик Э.Н. Вероятностное множественное моделирование распространения лесных пожаров. - Новосибирск: Наука, 1978. - 160 с. 
44. Математическая энциклопедия. т. 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985. 
45. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. - М.: Наука. 1987. - 280 с.
46. Орлов А.И. // Анализ нечисловых данных в системных исследованиях / Сборник трудов. - Вып. 10. - М.: ВНИИСИ, 1982. - С. 4-12. 
47. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. - М.: Финансы и статистика. 1983. - 472 с. 
48. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания: Статистическая обработка неоднородных совокупностей. - М.: Статистика, 1980. - 208 с. 
49. Хьюбер П. Робастность в статистике. - М.: Мир. 1984. - 304 с. 
50. Устойчивые статистические методы оценки данных. - М.: Машиностроение. 1984. - 230 с.
51. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений: Квазиправдоподобные оценки. - М.: Радио и связь, 1983. - 304 с. 
52. Wald A. / Ann. Math. Statist. 1949. V. 20. P. 595-601. 
53. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. - М.: Наука, 1979. - 528 с. 
54. Боровков А.А. Математическая статистика. - М.: Наука,1984. - 472 с. 
55. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / Под ред. В.Н.Вапника. - М.: Наука, 1984. - 816 с. 
56. Орлов А.И. /Прикладная статистика. - М.: Наука, 1983. С. 12-40. 
57. Ченцов Н.Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. - М.: Наука, 1972. - 520 с. 
58. Деврой Л., Дьерфи Л.Непараметрическое оценивание плотности: L1-подход. - М.: Мир, 1988. - 408 с. 
59. Яковлев С.А. /Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т. 24. N 4. С. 587-598. 
60. Орлов А.И./ Доклады АН СССР. 1974. Т. 219. N 4. С. 808-811. 
 61.Фрумкина Р .М. Цвет, смысл, сходство Ж  Аспекты психодингвийского анализа.-М.:Наука,1984,-176 с.
 62. Суппес П., Зинес Дж. / Психологические измерения. - М.: Мир, 1967. С. 9-110. 
63. Пфанцагль И. Теория изменений. - М.:Мир, 1976. - 165 с.  
 64. Абчук В., Пухначев Ю. / Наука и жизнь. 1984. N 9. С. 80-85. 
 65. Абчук В.А. Правила удачи. - Л.: Детская литература,1986. - 128 с. 
66. Орлов А.И. / Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях. - М.: Наука, 1974. С. 388-393. 
67. Колмогоров А.Н. Избранные труды.: Математика и механика. - М.: Наука, 1985. С. 136-138. 
68. Орлов А.И. / Математические заметки. 1981. Т. 30. N 4. С. 561-568. 
69. Толстова Ю.Н. / Социологические исследования. 1978. N 3. С. 178-184. 
70. Толстова Ю.Н. / Экономика и математические методы. 1978. Т. XIV. N 3. С. 598-603. 
71. Высоцкий В.С. / Прикладной многомерный статистический анализ. - М.: Наука, 1978. С. 348-351. 
72. Мешалкин Л.Д. / Статистические методы анализа экспертных оценок. - М.: Наука, 1977. С. 215-219. 
73. Глинчев А.В. и др. прикладные вопросы квалиметрии. - М.: Издательство стандартов. 1983. - 212 с. 
74. Подиновский В.В. / Тезисы докладов I Всесоюзного совещания по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации, экспертным оценкам и дискретной оптимизации. - М. - Алма-Ата; ВИНИТИ. 1981. С. 142-143. 
75. Зованов Н.В. Математические основы теории шкал измерения качества. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1982, - 185 с. 
76. Витяев Е.Е., Москвитин А.А. / Методы анализа данных: Вычислительные системы. Т. III . - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1985. С. 28-58. 
77. Котов В.Н. Применение теории измерений в биологических исследованиях. - Киев: Наукова думка, 1985. - 98 с. 
78. Кендалл М. Ранговые корреляции. - М.: Статистика, 1975.- 216 с.
79. Тюрин Ю.Н., Шмерлинг Д.С. / Заводская лаборатория. 1985. Т.51. N 7. С. 42-48. 
80. Маамяги А.В. Некоторые задачи статистического анализа классификаций. - Таллинн; АН ЭССР. 1982. - 24 с. 
81. Феллер В. Введение теорию вероятностей и ее приложения Том. 1.-М.: Мир, 1984. 528 с. 
82. Орлов А.И. / Экспертные оценки в задачах управления. - М.: ИПУ, 1982. - С. 58-66. 
83. Орлов А.И. / Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. -М.: Наука, 1980. С. 287-308. 
84. Дылько Т.Н. / Вестник Белорусского государственного ун-та / Сер. 1: физика, математика и механика. 1988, N 2. С. 36-40.
85. Раушенбах Г.В., Заславский А.А. / Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в медико-биологических исследованиях / / Материалы 1 Всесоюзной школы-семинара. - Пущино: НЦБИ, 1986. С. 126-141. 
86. Сердобольский В.И., Орлов А.И. / Тезисы докладов III Всесоюзной школы-семинара "Программно-алгоритмическое обеспечение прикладного многомерного статистического анализа". - М.: ЦЭМИ АН СССР, 1987. С. 151-160. 
87. Дэвид Г. Метод парных сравнений. - М.: Статистика, 1978.- 144 с.
88. Шмерлинг Д.С. и др. /Статистические методы анализа экспертных оценок. - М.: Наука, 1977. С. 290-382. 
89. Сатаров Г.А., Шмерлинг Д.С. /Экспертные оценки в задачах управления. - М.: ИПУ, 1982. С. 67-79. 
90.Шмерлинг Д.С. Разработка и исследование ранговых методов анализа информации для задач упорядочения элементов сложных систем /Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук - М.:ВНИИСИ, 1982 -21с. 
91. Тюрин Ю.Н. Непараметрические методы статистики. - М.: Знание, 1978 - 64 с. 
92. Кендалл М.:, Моран П. Геометрические вероятности - М.: Наука, 1972 - 192с. 
93. Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия М.Мир, 1978 -318с.
94. Ляшенко Н.Н. / Прикладная статистика - М.: Наука, 1983. с.4-59. 
95. Ковязин С.А. / Матем. статистика и ее прилож. / Вып. 9- Томск, 1983 с.94-102.
96. Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование - М.: Наука, 1984 - 136с. 
97. Zadeh L.A./ Inform. Control. 1965.V.8.Р. 338-353. 
98.Язенин А.В. Некоторые методы теории нечетных подмножеств в многокритериальных задачах с приложениями / Афтореф. дисс. канд. техн. наук, - Рига: Рижский политехнический ин-т, 1982. - 22с. 
99. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976. - 168 с. 
100. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: Пер. с англ. / Под ред. Р.Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986. - 408с. 
101. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспелова . - М.: Наука, 1986. - 312 с. 
102. Орлов А.И. /Наука и жизнь. 1982.N 7. с.60-67. 
103. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание, 1980. - 64с. 
104. Feron R./ Publications Econometrigues. 1976.V.IX.F.I.P. 25-64. 
105. Лапидус В.А. Гибкие методы статистического контроля надежности и качества. Ч. II.-М.: Знание, 1985.- 128 с. 
106. Терехина А.Ю. Анализ данных методами многомерного шкалирования.-М.- Наука, 1986. - 168 с. 
107. Мазур В.О., Юровский А.Ю. / Тезисы докладов V международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. Т. 3. - Вильнюс: Вильнюсский госуниверситет. 1989. С. 3-4. 
108. Перекрест В.Т. Нелинейный типологический анализ социально-экономической информации: Математические и вычислительные методы. - Л.: Наука, 1983. - 176с. 
109. Раушенбах Г.В. / Анализ нечисловой информации в социаологических исследованиях . - М.: Наука, 1985. с.169-203. 
110. Орлов А.И. /Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в медико-биологических исследованиях. - М.: Наука, 1987. с.27-40. 
111. Орлов А.И. / Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. - М.: Наука, 1980. с.92-99. 
112. Статистические методы оценивания и проверки гипотез// Межвуз. сб. научн. трудов. - Пермь:Пермский ун-т, 1988. с.45-55. 
113.Орлов А.И./ Прикладная статистика. - М.:Наука, 1983. - с.260-265. 
114. Гнеденко Б.В., Орлов А.И./ Заводская лаборатория. 1988. Т.54. N 1 .с.1-4. 
115. Трофимов В.А. Модели и методы качественного факторного анализа матриц связи. Автореферат... канд. техн. наук. - Новосибирск, Ин-т математики СО АН СССР, 1982.-18с. 
116. Шмерлинг Д.С. Разработка и исследование ранговых методов анализа информации для задач упорядочения элементов сложных систем. Автореф. ... канд. физ.-мат. наук. - М.:ВНИИСИ, 1982. - 21с. 
117. Рыданова Г.В. Некоторые вопросы статистического анализа случайных бинарных векторов: Автореф. дис.канд.физ.-мат. наук.- М. 1988.-16 с.
118.Шер А.П. Исследование тестовых методов диагностики и разработка на их основе алгоритмов обработки океанологической информации для задач рыбопромыслового прогнозирования: Автореф. дис. канд. техн. наук. - Владивосток, 1984.- 19 с.
119.Пярна К.А. Оптимальное разбиение метрического вероятностного пространства: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Вильнюс, 1987. - 20 с.
120. Бобров Н.Е., Лумельский Я.П.  Заводская лаборатория. 1985 Т. 51 №1. с. 42-46
121.Тюрин Ю.Н., Шмерлинг Д.С. : Заводская лаборатория. 1985 Т. 51 №7. с. 42-48.
122.Лумельский Я.П.  Заводская лаборатория. 1986 Т. 52 №7. с. 41-43.
123.Комиссарчик В.Ф.Авербух Е.А.: Заводская лаборатория. 1986.Т.52.№7.С.43-46.
124.Липовецкий С.С. Заводская лаборатория. 1987.Т.53.№1.С.53-57.
125.Горелова Н.Г.,Хиценко В.Е., Хиценко В.П.: Завуодская лаборатория.1987..Т.53.№3.С.59-62.
126.Вощиинин А.П.: Заводская лаборатория.1987.Т.53.№7.С.45-48.
127.Лбов Г.С.,Старцева Н.Г. Заводская лаборатория. 1988. Т.54. №1. С.72-75.
128.Демидович Н.О.,Курский И.Ю. Заводская лаборатория. 1988. Т.54. №3. С.95-98.
129.Воинов В.Г.,Никулин М.С. Заводская лаборатория. 1988. Т.54. №7. С.88-94.
130.Авербух Е.А. Заводская лаборатория. 1988.Т.54.№7.С.104-108.
131.Логинов Э.А., Лгинов В.Э. Заводская лаборатория. 1989.Т.55.№1. С.87-91.
132.Глазунов А.В., Лапидус В.А. Заводская лаборатория. 1989.Т.55. №3. С.85-89.
133.Лапига А.Г.,Поляков В.В. Заводская лаборатория. 1989.Т.55. №5. С.89-92.
134.Назаренко И.А., Сухан В.В., назаренко А.Ю. Заводская лаборатория. 1989. Т.55.№5. С.95-97. 
135.Цибель Н.А. Заводская лаборатория. 1989.Т.55. №7.С.88-94.
136.Вощинин А.П.,Бочков А.Ф.,Сотиров Г.Г. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.С.76081.
137.Бородюк В.П. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.81-83.
138.Демиденко Е.З. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.83-84.
139. Лецкий Э.К. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.84-86.
140.Орлов А.И. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.86-89.
141.Легостаева И.Л. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.90-93.
142.Кузнецов В.П. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.93-95.
143.Миркин Б.Г. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№10.С.73-78.
144.Корхин А.С. Заводская лаборатория. 1991.Т.57.№5.С.61-66.
145.Назаренко А.Ю. ,Сухан В.В. ,Назаренко И.А.: Заводская лаборатория. 1991. Т.57. №10. С.63-65.
146.Мирвалиев М., Никулин М.С. Заводская лаборатория. 1992. Т.58.№3.С.52-58.
147.Кутенков Р.П., Коростелев В.Г. Заводская лаборатория. 1992. Т.58.№5.С.50-54.
148.Гиль Л.Р., Лумельский Я.П. Заводская лаборатория. 1992. Т.58.№10.С.51-55.
149.Волков Н.Г., Ерофеева С.Ю. Заводская лаборатория. 1992. Т.58.№10.С.59-62.
150.Орлов А.И. Заводская лаборатория. 1992. Т.58.№10.С.62-63.
151.Шубкин В.П. Социологическиее опыты.-М.: Мысль,1970.-256 с.
152.Щукина Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике. - М.Педагогика,1971.-352 с.
153.Пфанцагль И.Теория измерений. - М.Мир,1976.-166 с.
154.ГОСТ 23554.2-81. Экспертные методы оценки качества промышленной продукции. Обработка значений экспертных оценок качества продукции. -М. Изд-во Стандартов, 1981.
155.Березин Ф.Б., Мирошниченков М.П. Рожанец Р.М. Методика многостороннего обследования личности в клинической медецине и психогигиене. -М. Изд-во Стандартов, 1981.
156.Раушенбах Г.В.,Филлипов О.В. Экспертные оценки в медецине. -М.: ВНИИМИ, 1983.-83 с.
157.Фрумкина Р.М. Цвет, смысл, сходство: Аспекты психодингвистического анализа. -М.Наука, 1984. -176 с.
158.Кендалл М.Ранговые корреляции. - М.:Статистика,1975. - 216 с. 1
159.Скорняков Л.А. / Математическая энциклопедия.Т.4.-М.: Советская энциклопедия,1984. - С.505. 
160.Шрейдер Ю.А. Равенство,сходство,порядок.-М.Наука.1971.-256 с. 
161.Борель Э.Вероятность идостоверность. - М.: ГИФМЛ, 1961г.
- 120 с.
162.Зиман Э., Бьюнеман О. - В кн.: На пути к теоретической биологии.- М.Мир,1970.С.43-82.
163.Беляев Ю.К. Вероятностные модели выборочного контроля.
-М.:Наука, 1975.С.- 408 с.
164.Колмогоров А.Н./Известия АН СССР. Сер.математика.1950. Т.14. N.4, С.303- 326. 
165. Айвазян С.А. / Экономика и математические методы. 1977. Т.13. N.5. С.968-985. 
166.Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия. - М.:Мир, 1978. -320 С. 
167.Ковязин С.А./Препринты NN 18,20.Красноярск : ВЦ СО АН СССР, 1982. -24 с; 26 с. 
168.Аркин В.И., Евстигнеев И.В. Вероятностные модели управления и экономической динамики. М.: Наука, 1979. - 176 с. 
169.Кендалл М.,Моран П. Геометрические вероятности. -М.:Наука, 1972. - 176 с. 
170.Zadeh L.A. / Inform.Control. 1965. V.8. P.338-353. 
171.Заде Д. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений.-М.Мир. 1976. - 168 с. 172.Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходности информации. -М.:Наука, 1981. - 208 с. 
173.Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. -М.Наука, 1982. - 168 с. 174.Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А. и др. Методы принятия решений на основе лингвистической переменной. - Рига, Зинатне, 1982. - 264 с. 
175.Аверкин А.Н.,Батыршин И.З.,Блищун А.Ф. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. - М.: Наука, 1986. - 312 с. 
176.Борисов А.Н.,Алексеев А.В.,Меркурьева Г.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятий решений. -М.:Радио и связь., 1989. -304 с. 
177. Орлов А. И./ Заводская лаборатория. 1990 Т. 56 №3. с. 76 -83.
178. Тюрин Ю. Н., Литвак Б. Г., Орлов А. И. и др./ там же. 1980 Т46 №10 с. 931-935.